Question

设数列{a_n}满足：当n=2k-1（k∈N^*）时，a_n=n；当n=2k（k∈N^*）时，a_n=a_k．
（1）求a₂+a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂+a₁₄+a₁₆；
（2）若Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，证明：S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1-

1

4n

．

Answer 1

分析：（1）根据题设中数列的通项公式可求得原式=4a₁+2a₃+a₅+a₇求得答案．
（2）先把前n中，奇数项和偶数项分别计算，利用等差数列的求和公式求得(a1+a3+a5++a2n-1)=4^n-1，代入即可求得答案．
（3）由2）知：S_n-S_n-1=4^n-1，进而用叠加法求得S_n，进而利用

1

Sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

利用等比数列的求和公式，求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1-

1

4n

解答：解：（1）原式=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈
=a₁+a₁+a₃+a₁+a₅+a₃+a₇+a₁
=4a₁+2a₃+a₅+a₇
=4×1+2×3+5+7
=22

（2）Sn=a1+a2+a3++a2n-1+a2n
=(a1+a3+a5++a2n-1)+(a2+a4+a6++a2n)
=[1+3+5++(2n-1)]+(a2+a4+a6++a2n)
=4n-1+(a2+a4+a6++a2n)
=4n-1+(a1+a2++a2n-1)
=4^n-1+S_n-1

（3）由2）知：S_n-S_n-1=4^n-1，于是有：S_n-1-S_n-2=4^n-2，S_n-2-S_n-3=4^n-3，S₂-S₁=4，
上述各式相加得：S_n=S₁+4+4²++4^n-1
=2+4+4²++4^n-1
=

1

3

(4n+2)，
∴

1

Sn

=

3

4n+2

＜

3

4n

，
∴

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

＜

3

4

(1+

1

4

+

1

42

++

1

4n-1

)=1-

1

4n

．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合．考查了不等式的性质在数列中的应用．