Question

已知f（x）=e^x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求证：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求证：x₁＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别构造函数h（x）=f（x）-x=e^x-x；u（x）=x-g（x）=x-lnx，利用导数研究其单调性、极值与最值即可证明；
（II）由于直线l与f（x）、g（x）均相切，利用导数的几何意义和斜率计算公式可得方程组：

ex1= 1 x2      ① lnx2-ex1 x2-x1 =ex1   ②

，再利用x₁＞x₂＞0，可得ex1＞1，得到0＜x₂＜1．再利用②得lnx2=ex1(x2-x1+1)＜0，即可得到x₂-x₁+1＜0．

解答：（Ⅰ）证明：令h（x）=f（x）-x=e^x-x，h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=0，解得x=0．
当x＜0时，h′（x）＜0；当x＞0时，h′（x）＞0．
∴当x=0时，ymin=e0-0=1＞0
∴e^x＞x．
令u（x）=x-g（x）=x-lnx，u′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

（x＞0）．
令u′（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，u′（x）＜0；当x＞1时，u′（x）＞0．
∴当x=1时，u_min=1-ln1=1＞0．
∴x＞lnx，（x＞0），
∴g（x）＜x＜f（x）．
（Ⅱ）f'（x）=e^x，g′(x)=

1

x

，
切点的坐标分别为(x1，ex1)，(x2，lnx2)，可得方程组：

ex1= 1 x2      ① lnx2-ex1 x2-x1 =ex1   ②

∵x₁＞x₂＞0，
∴ex1＞1，∴

1

x2

=ex1＞1，
∴0＜x₂＜1．
由②得lnx2-ex1=ex1(x2-x1)，
∴lnx2=ex1(x2-x1+1)．
∵0＜x₂＜1，∴lnx₂＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，即x₁＞x₂+1＞1．
∴x₁＞1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造函数证明不等式、导数的几何意义、斜率计算公式、指数函数与对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．