Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁A=a，BC=

2

a，M是AD中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：A₁、M、C、N四点共面；
（2）求证：BD₁⊥MCNA₁；
（3）求证：平面A₁MNC⊥平面A₁BD₁；
（4）求A₁B与平面A₁MCN所成的角．

Answer 1

分析：（1）取A₁D₁中点E，连接ME、C₁E推知MC∥EC，推知A₁N∥MC且MC=A₁N，得到A₁，M，C，N四点共面．
（2）连接BD，得到BD是D₁B在平面ABCD内的射影，得到

MD

CD

=

CD

BC

=

1

2

，得到Rt△CDM～Rt△BCD，得到∠DCM=∠CBD，得到MC⊥BD，从而得到D₁B⊥MC．
（3）连接A₁C，由A₁BCD₁是正方形，得到D₁B⊥A₁C．由D₁B⊥MC，得到D₁B⊥平面A₁MCN，得到平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．
（4）由（2）（3）得到∠BA₁C是A₁B与平面A₁MCN所成的角．

解答：解：（1）取A₁D₁中点E，连接ME、C₁E，
∴A₁N∥C₁E且C₁E=A₁N，MC∥EC、
∴A₁N∥MC且MC=A₁N∴A₁，M，C，N四点共面．

（2）连接BD，则BD是D₁B在平面ABCD内的射影．
∵

MD

CD

=

CD

BC

=

1

2

，∴Rt△CDM～Rt△BCD，∠DCM=∠CBD、
∴∠CBD+∠BCM=90°．∴MC⊥BD、∴D₁B⊥MC．

（3）连接A₁C，由A₁BCD₁是正方形，知D₁B⊥A₁C．
∵D₁B⊥MC，∴D₁B⊥平面A₁MCN．
∴平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．

（4）由（3）知平面A₁MCN⊥平面A₁BD₁．
∴A₁C是直线A₁B在平面A₁MCN内的身影
∴∠BA₁C是A₁B与平面A₁MCN所成的角
又∵A₁B⊥BC，A₁B=BC
∴∠BA₁C=45°

点评：本题主要考查平面图形的量的关系来推知空间线线位置关系，进而得到线面，面面位置关系．