Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过焦点垂直长轴的弦长为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=2x于A、B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过焦点垂直长轴的弦长为3，

则有 ，

解可得a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3．

所以，所求椭圆的标准方程为

（2）解：证明：设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2．

代入抛物线方程y2=2x，得y2﹣2my﹣4=0．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

则 ，

∴x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4=0．

∴OA⊥OB

【解析】（1）根据题意，分析可得 ，解可得a、c的值，由椭圆的定义可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；（2）设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，设出A、B点的坐标，由根与系数的关系的关系分析计算x1x2+y1y2的值，由向量数量积的性质可得证明．