Question

6．已知点${A}（{0，2\sqrt{2}}）$，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，线段F A的中点B在抛物线上，若抛物线在点B处的切线与x轴交于点C，则△BFC的面积为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先求出抛物线的方程，再求出抛物线在点B处的切线方程，即可求△BFC的面积．

解答 解：由题意F（$\frac{p}{2}$，0），B（$\frac{p}{4}$，$\sqrt{2}$），
∵B在抛物线上，
∴2=$\frac{{p}^{2}}{2}$，
∵p＞0，
∴p=2，
∴抛物线y²=4x，B（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$），
由y=2$\sqrt{x}$，可得y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$，x=$\frac{1}{2}$时，y′=$\sqrt{2}$，
∴抛物线在点B处的切线方程为y-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{2}$），
y=0时，x=-$\frac{1}{2}$，∴△BFC的面积为$\frac{1}{2}×（1+\frac{1}{2}）×\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．