分析 求导函数,问题转化为b<x+$\frac{1}{2x}$,设g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,只需b<g(x)max,结合函数的单调性可得函数的最大值,故可求实数b的取值范围.
解答 解:∵f(x)=$\frac{lnx+(x-b)^{2}}{x}$,x>0,
∴f′(x)=$\frac{1+2x(x-b)-lnx{-(x-b)}^{2}}{{x}^{2}}$,
∴f(x)+xf′(x)=$\frac{1+2x(x-b)}{x}$,
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
∴1+2x(x-b)>0
∴b<x+$\frac{1}{2x}$,
设g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,
∴b<g(x)max,
∴g′(x)=$\frac{{2x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$,
当g′(x)=0时,解得:x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
当g′(x)>0时,即$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x≤2时,函数单调递增,
当g′(x)<0时,即$\frac{1}{2}$≤x<$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,函数单调递减,
∴当x=2时,函数g(x)取最大值,最大值为g(2)=$\frac{9}{4}$,
∴b<$\frac{9}{4}$,
故答案为:(-∞,$\frac{9}{4}$).
点评 本题考查导数知识的运用,考查恒成立问题,考查函数的最值,属于中档题.
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A. | f(x1)+f(x2)<0 | B. | f(x1)+f(x2)>0 | C. | f(x1)+f(x2)可能为0 | D. | f(x1)+f(x2)可正可负 |
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时间x(s) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
深度y(μm) | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
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A. | (-∞,3] | B. | (-∞,-3] | C. | [-3,+∞) | D. | (-3,+∞) |
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