Question

已知函数f（x）=

3

ωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ωx-

π

3

），x∈R，（其中ω＞0）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为

π

2

，则当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）首先求函数的表达式f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)求值域，需要把三角函数化为一般形式，然后根据最大最小值直接求得值域．
（2）由函数f（x）的最小正周期以及上面解得的一般形式，可直接求出即ω=4，则函数的完整表达式求出来了，在根据三角函数的单调区间的求法，求出f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)，
∵x∈R，∴f（x）的值域为[-2，2]，
所以答案为[-2，2]．
（2）∵f（x）的最小正周期为

π

2

，∴

2π

ω

=

π

2

，即ω=4
∴f(x)=2sin(4x+

π

6

)∵x∈[0，

π

2

]，∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]
∵f（x）递减，∴4x+

π

6

∈[

π

2

，

3π

2

]
由

π

2

≤4x+

π

6

≤

3π

2

，得到

π

12

≤x≤

π

3

，
∴f（x）单调递减区间为[

π

12

，

π

3

]．
所以答案为[

π

12

，

π

3

]．

点评：此题主要考查三角函数周期值域问题的应用，其中涉及到求三角函数一般形式的求法．在学习中三角函数性质的记忆与理解是非常重要的，需要注意．