Question

设n为奇数，则7

C

1 n

+72

C

2 n

+…+7n

C

n n

除以9的余数为

7

．

Answer 1

分析：所给的式子即 （9-1）ⁿ-1 的展开式，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．

解答：解：由于n为奇数，7

C

1 n

+72

C

2 n

+…+7n

C

n n

=（1+7）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=

C

0 9

•99•(-1)0+

C

1 9

•98•(-1)1+

C

2 9

•97•(-1)2 
+…+

C

8 9

•91•(-1)8+

C

9 9

•90•(-1) 9-1，
显然，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数．
而最后2项的和为-2，它除以9的余数为7，
故答案为 7．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．