Question

【题目】已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验．
（1）求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
（2）现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：混合在一起化验．
请问：哪一种方案更适合（即化验次数的期望值更小）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则ξ～B（2，0.1），

这2只动物中只要有一只血样呈阳性，它们的混合血样呈阳性，

所求概率为p（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.1）2=0.19．

∴2只该种动物的混合血样呈阳性的概率为0.19

（2）方案一：4只动物都得化验，所需化验次数为4次；

方案二：设所需化验次数为X，则X的所有可能取值为2，4，6，

P（X=2）=0.81×0.81=0.6561，

P（X=4）=2×0.81×0.19=0.3076，

P（X=6）=0.19×0.19=0.0361，

∴EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76；

方案三：设所需化验次数为Y，则Y的所有可能取值为1，5，

由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为0.94=0.6561，

∴P（Y=1）=0.6561，

P（Y=5）=1﹣0.6561，

∴EY=1×0.6561+5×0.3439=2.3756．

∵2.3756＜2.76＜4，

∴4只动物混合在一起化验更合适

【解析】（1）设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则ξ～B（2，0.1），由此能求出2只该种动物的混合血样呈阳性的概率．（2）分别求出三种方案的化验次数的期望值，由此能得到4只动物混合在一起化验更合适．