Question

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（α）=$\frac{6}{5}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，求$f（2α+\frac{π}{12}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos（α-$\frac{π}{6}$），利用二倍角公式求得sin（2α-$\frac{π}{3}$）和cos（2α-$\frac{π}{3}$）的值，再利用两角和的正弦公式求得$f（2α+\frac{π}{12}）$的值．

解答 解：（1）由图可知，A=2，T=$\frac{2π}{ω}$=2π，故ω=1，所以，f（x）=2sin（x+ϕ）．
又$f（\frac{2π}{3}）=2sin（\frac{2π}{3}+ϕ）=2$，且$-\frac{π}{2}＜ϕ＜\frac{π}{2}$，故$ϕ=-\frac{π}{6}$．
于是，f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由$f（α）=\frac{6}{5}$，得sin（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，因为$0＜α＜\frac{π}{2}$，所以 cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
所以，sin（2α-$\frac{π}{3}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{24}{25}$，
cos（2α-$\frac{π}{3}$）=2cos²（α-$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{7}{25}$，
所以$f（2α+\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{12}）=2sin（2α-\frac{π}{3}+\frac{π}{4}）$=$2sin（2α-\frac{π}{3}）cos\frac{π}{4}+2cos（2α-\frac{π}{3}）sin\frac{π}{4}=\frac{{31\sqrt{2}}}{25}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标图求出φ的值，可得函数的解析式．还考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．