Question

设直线l：4x+3y+a=0和圆C：x²+y²+2x-4y=0．
（1）当直线l过圆C的圆心时，求实数a的值；
（2）当a=3时，求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）求出圆C的圆心为（-1，2），代入直线l方程并解之即可得到实数a值．
（2）设直线l与圆C交于M、N两点，作CD⊥l于D点．利用点到直线的距离公式算出C到l的距离，再由垂径定理即可算出直线l被圆C所截得的弦长．

解答：解：（1）由x²+y²+2x-4y=0，化成标准方程得（x+1）²+（y-2）²=5．
∴圆C的圆心为（-1，2），半径r=

5

．   …（2分）
∵直线l过圆C（-1，2），
∴C的坐标代入，得-4+6+a=0，解得a=-2．        …（4分）
（2）设直线l与圆C交于M、N两点，作CD⊥l于D点
当a=3时，圆心（-1，2）到直线l：4x+3y+3=0的距离为
d=|CD|=

|4×(-1)+3×2+3|

42+32

=1． …（7分）
因此，可得|MN|=2

r2-d2

=2

5-1

=4．
即直线l被圆C所截得的弦长为4．  …（10分）

点评：本题给出已知圆和动直线，求当直线l过圆时的a值，并求直线l被圆截得的弦长．着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和垂径定理等知识，属于中档题．