Question

9．设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在[1，3]上不存在单调增区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=2代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=lnx+x²-4x+4，（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4=$\frac{{2x}^{2}-4x+1}{\;}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$或x＜$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$＜x＜$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，
故f（x）在（0，$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）递增，在（$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）递减，在（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，+∞）递增；
（2）f′（x）=$\frac{1}{2}$+2x-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈[1，3]，
设g（x）=2x²-2ax+1，
假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，
必有g（x）≤0，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=3-2a≤0}\\{g（3）=19-6a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{19}{6}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．