Question

7、如图，正方体AC₁的棱长为1，过点A作平面A₁BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

A、点H是△A₁BD的垂心

B、AH垂直平面CB₁D₁

C、AH的延长线经过点C₁

D、直线AH和BB₁所成角为45°

Answer 1

分析：如上图，正方体的体对角线AC₁有以下性质：
①AC₁⊥平面A₁BD，AC₁⊥平面CB₁D₁；②AC₁被平面A₁BD与平面CB₁D₁三等分；③AC₁=$\sqrt{3}$AB等．
（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）

解答：解：因为三棱锥A-A₁BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；
易证面A₁BD∥面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以AH垂直平面CB₁D₁，所以选项B正确；
连接正方体的体对角线AC₁，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A₁B、A₁D等，所以AC₁⊥平面A₁BD，则直线A₁C与AH重合，所以选项C正确；
故选D．

点评：本题主要考查正方体体对角线的性质．