Question

已知P为抛物线y=x²上的动点，定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹与抛物线y=x²交于B、C两点，当AB⊥AC时，求a的值．

Answer 1

分析：（1）设出P，Q两点的坐标，根据定点A（a，0）关于P点的对称点是Q，写出中点的坐标公式，用a，x表示x₀，y₀，根据这是曲线上的一点，代入曲线的方程，得到要求的点的轨迹．
（2）两个曲线相交的问题，需要把两个曲线的方程联立，得到关于x的方程，根据有两个交点，得到方程有两个实根，根据判别式和根与系数的关系，再根据垂直的关系得到结果．

解答：解：（1）设Q（x，y）、P（x₀，y₀）

∵  A、Q关于P点对称

，
∴

x0= x+a 2 y0= y 2

，
∴

y

2

=(

x+a

2

)2，即y=

1

2

(x+a)2
（2）由

y=x2 y= 1 2 (x+a)2

消去y得x²-2ax-a²=0
又因为两曲线相交于B、C两点，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

则x1+x2=2a，x1x2=-a2 ∵ AB⊥AC∴kAB•kAC=-1，即 y1 x1-a • y2 x21-a =-1 ∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0 ∵y1y2= x 2 1 • x 2 2 =(-a2)2=0∴a4-a2-2a2+a2=0 解得a=± 2 或a=0(舍去) ∴当AB⊥AC时，a的值为± 2 ．

点评：本题考查圆锥曲线的综合问题，本题解题的关键是先求出满足条件的轨迹，在利用方程联立，在联立方程时注意判断式与根与系数的关系的作用．