Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，cosx），向量$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx）（x∈R）．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（I）求f（$\frac{3π}{8}$）的值；                 
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）由条件利用两个向量的数量积公式求得f（x）的解析式，再利用三角函数的恒等变换化简，可得f（$\frac{3π}{8}$）的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）单调递增区间．

解答 解：（I）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos²x+sinxcosx=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
故f（$\frac{3π}{8}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinπ+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）对于f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
可得 $2kπ-\frac{3π}{4}≤2x≤2kπ+\frac{π}{4}$，即$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}（k∈Z）$，
故f（x）单调递增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．