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在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,点G是MN的中点,则
OG
可用基底{
OA
OB,
OC
}
表示成:
OG
=
1
4
(
OA
+
OB
+
OC
)
1
4
(
OA
+
OB
+
OC
)
分析:要表示向量
OG
,只需要用给出的基底{
OA
OB,
OC
}
表示出来即可,要充分利用图形的直观性,熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.
解答:解:如图,连接ON,在△OBC中,点N是BC中点,则由平行四边形法则得
ON
=
1
2
OB
+
OC

在△OMN中,点G是MN中点,则由平行四边形法则得
OG
=
1
2
OM
+
ON

=
1
2
OM
+
1
2
ON

=
1
4
OA
+
1
2
1
2
OB
+
OC

1
4
(
OA
+
OB
+
OC
)

故答案为:
1
4
(
OA
+
OB
+
OC
)
点评:本题考查空间向量的运算,即向量加法的平行四边形法则,三角形法则,空间向量基基底的概念,空间向量的基本定理及其意义.考查了数形结合的思想,属于基础题.
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如图,在直角三角形ABC中,AD是斜边BC上的高,有很多大家熟悉的性质,例如“AB⊥AC”,勾股定理“|AB|2+|AC|2=|BC|2”和“
1
|AD|2
=
1
|AB|2
+
1
|AC|2
”等,由此联想,在三棱锥O-ABC中,若三条侧棱OA,OB,OC两两互相垂直,可以推出哪些结论?至少写出两个结论.
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cos2α+cos2β+cos2γ=1
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在三棱锥O-ABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,x+y=4,当三棱锥O-ABC的体积最大时,异面直线AB与OC的距离等于
2
2

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(2012•安徽模拟)给出下列命题,其中正确的命题是
①③④
①③④
(写出所有正确命题的编号).
①非零向量
a
b
满足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|
,则
a
a
+
b
的夹角为30°;
②已知非零向量
a
b
,则“
a
b
>0
”是“
a
b
的夹角为锐角”的充要条件;
③命题“在三棱锥O-ABC中,已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
,若点P在△ABC所在的平面内,则x+y=3”的否命题为真命题;
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0
,则△ABC为等腰三角形.

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