已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;
(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.
(1) f(x)的最小值是-1, f(x)的最大值是35. (2) a≤-6或a≥4. (3) f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].
解析试题分析:(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
由于x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, 2分
∴f(x)的最小值是f(2)=-1, 3分
又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35. 4分
(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,
所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,
应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. 6分
(3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6], 8分
且f(x)=, 10分
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 12分
考点:本题考查了函数的单调性及最值
点评:一元二次函数的单调性与其对称轴有关,故一元二次函数的最值问题往往利用其单调性求解
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于定义在实数集上的两个函数
,若存在一次函数
使得,对任意的
,都有
,则把函数
的图像叫函数
的“分界线”。现已知
(
,
为自然对数的底数),
(1)求的递增区间;
(2)当时,函数
是否存在过点
的“分界线”?若存在,求出函数
的解析式,若不存在,请说明理由。
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