【题目】观察以下各等式:
tan 30°+tan 30°+tan 120°=tan 30°·tan 30°·tan 120°,
tan 60°+tan 60°+tan 60°=tan 60°·tan 60°·tan 60°,
tan 30°+tan 45°+tan 105°=tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特点,猜想出表示的一般规律,并加以证明.
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【题目】某校高三年级数学竞赛初赛考试后,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知成绩在130~140分数段的人数为2.
(1)求这组数据的平均数M.
(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段至高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成帮扶小组.若选出的两人的成绩之差大于20,则称这两人为“黄金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.
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【题目】已知函数f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)设a=1,f(x)在x=1处的切线过点(2,6),求b的值;
(2)设b=a2+2,求函数f(x)在区间[1,4]上的最大值;
(3)定义:一般的,设函数g(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,则称x0为函数g(x)的不动点.设a>0,试问当函数f(x)有两个不同的不动点时,这两个不动点能否同时也是函数f(x)的极值点?
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(Ⅰ)求证:AB∥EF;
(Ⅱ)若PA=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求证:AF⊥平面PCD.
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【题目】已知各项均不为0的数列{an}满足a1=a,a2=b,且an2=an﹣1an+1+λ(n≥2,n∈N),其中λ∈R.
(1)若λ=0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)求证:数列{an}是等差数列的充要条件是λ=(b﹣a)2;
(3)若数列{bn}为各项均为正数的等比数列,且对任意的n∈N* , 满足bn﹣an=1,求证:数列{(﹣1)nanbn}的前2n项和为常数.
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【题目】环保部门对5家造纸厂进行排污检查,若检查不合格,则必须整改,整改后经复查仍然不合格的,则关闭.设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的,且每家造纸厂检查前合格的概率是 ,整改后检查合格的概率是 ,求:
(Ⅰ)恰好有两家造纸厂必须整改的概率;
(Ⅱ)至少要关闭一家造纸厂的概率;
(Ⅲ)平均多少家造纸厂需要整改?(其中( )5≈ )
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【题目】某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于 m2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;
(2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.
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【题目】某学校1800名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,抽取其中50名学生组成一个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组,第二组……,第五组,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)请估计学校1800名学生中,成绩属于第四组的人数;
(2)若成绩小于15秒认为良好,求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数;
(3)请根据频率分布直方图,求样本数据的众数、平均数.
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