Question

（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知

AM

=

c

、

AN

=

d

，试用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．
（2）在△ABC中，若

AB

=

a

，

AC

=

b

若P，Q，S为线段BC的四等分点，试证：

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)；

Answer 1

分析：（1）由M、N分别为DC、BC的中点，则

DM

=

1

2

AB

，我们易根据向量加法的三角形法则，用

c

、

d

表示

AB

和

AD

．
（2）由

AB

=

a

，

AC

=

b

，我们易将向量

AP

，

AQ

，

AS

，用

a

，

b

表示，利用向量加减法的运算法则，易得到

AP

+

AQ

+

AS

=

3

2

(

a

+

b

)．

解答：解：（1）由

DM

=

1

2

AB

，

BN

=

1

2

AD

∴

c

=

AD

+

DM

，

d

=

AB

+

BN

即

c = AD + 1 2 AB d = AB + 1 2 AD

解得：

AB

=

4

3

d

-

2

3

c

AD

=

4

3

c

-

2

3

d

（7分）
（2）证明：

AP

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，

AQ

=

1

2

AB

+

1

2

AC

，

AC

=

1

4

AB

+

3

4

AC

∴

AP

+

AQ

+

AC

=

3

2

(

AB

+

AC

)，
∴

AP

+

AQ

+

AC

=

3

2

(

a

+

b

)（14分）

点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，利用向量加减法的三角形法则，及数乘向量运算法则，将平面内任一向量分解为用基底向量表示的形式，是解答本题的关键．