Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2，又AA₁平面ABC，D、E分别是AC、CC₁的中点．
（1）求证：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的余弦值；
（3）求点B₁到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；
（2）确定面DA₁B的法向量、面AA₁B的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角D-BA₁-A的余弦值；
（3）

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0），利用距离公式可求点B₁到平面A₁BD的距离

解答：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A₁（1，-2，0），C₁（-1，-2，0），B（0，0，

3

）
∴

AE

=（-2，-1，0），

A1D

=（-1，2，0），

BD

=（0，0，-

3

）
∴

AE

•

A1D

=0，

AE

•

BD

=0
∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

又A₁D与BD相交
∴AE⊥面A₁BD             …（5分）
（2）解：设面DA₁B的法向量为

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

-x1+2y1=0 z1=0

，取

n1

=（2，1，0）…（7分）
设面AA₁B的法向量为

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

-x2+2y2+ 3 z2=0 2y2=0

，取

n2

=（3，0，

3

） …（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

6

5 • 12

=

15

5

故二面角D-BA₁-A的余弦值为

15

5

    …（10分）
（3）解：

B1B

=（0，2，0），平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0）
则B₁到平面A₁BD的距离为d=|

B1B • n1

| n1 |

|=

2 5

5

  …（13分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．