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若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列{an}是调和数列,对于各项都是正数的数列{xn},满足(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列{xn}是等比数列;
(Ⅱ)把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当x3=8,x7=128时,求第m行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{xn},证明:

【答案】分析:(Ⅰ)由题设条件知anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2.设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p,有,由此导出xn+12=xnxn+2,所以数列{xn}是等比数列.
(Ⅱ)由题意知{xn}的公比为q=2.xn=x3qn-3=8×2n-3=2n.由此能够推导出第m行各数的和为
(Ⅲ)由xn=2n,知.所以
由此入手能够导出
解答:解:(Ⅰ)证明:因为,且数列{xn}中各项都是正数,
所以anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2
设anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p,①
因为数列{an}是调和数列,故an≠0,
所以,.②
由①得,代入②式得,
所以2lgxn+1=lgxn+lgxn+2,即lgxn+12=lg(xnxn+2).
故xn+12=xnxn+2,所以数列{xn}是等比数列.(5分)
(Ⅱ)设{xn}的公比为q,则x3q4=x7,即8q4=128.由于xn>0,故q=2.
于是xn=x3qn-3=8×2n-3=2n
注意到第n(n=1,2,3,)行共有n个数,
所以三角形数表中第1行至第m-1行共含有个数.
因此第m行第1个数是数列{xn}中的第项.
故第m行第1个数是
所以第m行各数的和为.(9分)
(Ⅲ)因为xn=2n,所以
所以
=(k=1,2,3,,n),
所以
=
所以.(14分)
点评:本题考查数列知识的综合运用,难度较大,解题时要注意挖掘隐含条件,灵活运用公式.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列{an}是调和数列,对于各项都是正数的数列{xn},满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列{xn}是等比数列;
(Ⅱ)把数列{xn}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,当x3=8,x7=128时,求第m行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列{xn},证明:
n
2
-
1
3
x1-1
x2-1
+
x2-1
x3-1
+…+
xn-1
xn+1-1
n
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

()若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足

(Ⅰ)证明数列是等比数列;

(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形

数表,当时,求第行各数的和;

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,证明:

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科目:高中数学 来源:北京市朝阳区2010届高三一模数学(理科) 题型:解答题

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(Ⅰ)证明数列是等比数列;

(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形
数表,当时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,证明:

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科目:高中数学 来源:2010年北京市朝阳区高三下学期一模数学(文)测试 题型:解答题

(本小题满分14分)

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,
时,求第行各数的和;
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足
,求证:数列为等差数列.

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科目:高中数学 来源:2010年北京市朝阳区高三下学期一模数学(文)测试 题型:解答题

(本小题满分14分)

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列,则称这个数列为调和数列.已知数列是调和数列,对于各项都是正数的数列,满足

(Ⅰ)求证:数列是等比数列;

(Ⅱ)把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表,

时,求第行各数的和;

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列,若数列满足

,求证:数列为等差数列.

 

 

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