Question

已知函数f（x）=x²-tlnx的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=kx+7．
（1）试确定函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=-x²+14x，且f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为单调增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（1）=1²-tln1=1，于是切线y=kx+7 过点（1，1），所以1=k+7∴k=-6 ，∴k=f′（1）=2-t=-6∴t=8．所以f（x）=x²-8lnx
（2）∵，且x＞0，∴x＞2 时，f′（x）＞0，当0＜x＜2 时，f′（x）＜0．即f（x） 在（2，+∞） 上单调递增，在（0，2）上单调递减，又g（x）=-（x-7）²+49 所以g（x） 在（-∞，7）单调递 增，所以
分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出t的值从而得出函数f（x）的解析式；
（2）由题意：“f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为单调增函数”知：在函数的区间（a，a+2）上不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0恒成立，利用恒成立得到关于a的不等关系确定a的取值范围．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的极值等基础题知识．已知函数单调性，求参数范围问题的常见解法；设函数f（x）在（a，b）上可导，若f（x）在（a，b）上是增函数，则可得f′（x）≥0，从而建立了关于待求参数的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是减函数，则可得f′（x）≤0．