Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CD，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析：（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；
（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．

解答：解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC²=BD•BE，
∵tan∠CED=

1

2

，∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

，
设BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．

点评：本题考查的是切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，属于中档题．