Question

【题目】已知等差数列{an}的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为Sn ， 且a1 ， a4 ， a13分别是等比数列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）证明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则 ∵a1 ， a4 ， a13分别是等比数列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ．
∴
∵a1=3，∴d2﹣2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1
∵ ，
∴bn=3n﹣1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
∴ = = （ ）
∴ = =
= ＜
∵ ≤ =
∴ ≥
∴
【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q，利用a1 ， a4 ， a13分别是等比数列{bn}的b2 ， b3 ， b4 ， 求出公差，即可求出数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出前n项和，可得数列通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
【考点精析】关于本题考查的等差数列的通项公式（及其变式）和等比数列的通项公式（及其变式），需要了解通项公式：或；通项公式：才能得出正确答案．