Question

设P是△ABC内一点，△ABC三边上的高分别为h_A、h_B、h_C，P到三边的距离依次为l_a、l_b、l_c，则有++=1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别是h_A、h_B、h_C、h_D，P到这四个面的距离依次是l_a、l_b、l_c、l_d，则有    ．

Answer 1

【答案】分析：在平面中利用面积分割法，结合三角形面积公式证出++=1，结论成立．依此可得当P为四面体ABCD内一点时，利用体积分割法和锥体的体积公式，类似于平面中结论的证明方法可得+++=1，得到本题答案．
解答：解：如图，连结PA、PB、PC，可得
S_△ABP+S_△BCP+S_△CAP=S_△ABC，
即AB×l_c+BC×l_a+CA×l_b=S_△ABC，…（1）
∵S_△ABC=AB×h_C=BC×h_A=CA×h_B
∴在（1）式的两边都除以S_△ABC，得++=1
即++=1，即平面内的结论成立
当P为四面体ABCD内一点时，V_P-BCD+V_P-CDA+V_P-ABD+V_P-ABC=V_D-ABC，
两边都除以V_D-ABC，得+++=1
类似平面中结论证明的方法，可得+++=1
故答案为：+++=1
点评：本题给出三角形ABC内一点P满足的等式，要求给出空间四面体的一个类似结论．着重考查了三角形面积公式、锥体的体积公式和类比推理的一般方法等知识，属于中档题．