【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: 的左焦点为F,右顶点为A,动点M为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点),设线段FM交椭圆C于点P,已知椭圆C的离心率为 ,点M的横坐标为 .
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若∠FPA为直角,求P点坐标;
(3)设直线PA的斜率为k1 , 直线MA的斜率为k2 , 求k1k2的取值范围.
【答案】
(1)解:由题意可知:离心率e= = ,
准线方程x= = ,
解得:a=3,c=2,
由b2=a2﹣c2=5,
∴求椭圆C的标准方程为
(2)解:由∠FPA为直角,
∴以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x,± ),
∴圆心为O( ,0),半径为 ,
∴丨PO丨= ,即 = ,整理得:4x2﹣9x﹣9=0,
解得:x=﹣ 或x=3(舍去),
∴y=± =± ,
∴P点坐标为:
(3)解:设点P(x1,y1)(﹣2<x1<3),点 ,
∵点F,P,M共线,x1≠﹣2,
∴ ,即 ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
又∵点P在椭圆C上,
∴ ,
∴ ,
∵﹣2<x1<3,
∴ ,
故k1k的取值范围为
【解析】(1)由椭圆的离心率e= = ,准线方程x= = ,即可求得a和c的值,则b2=a2﹣c2=5,即可求得椭圆C的标准方程;(2)由∠FPA为直角,以AF为直径的圆的与椭圆相交于P点,设P(x,± ),求得圆心为O( ,0)及半径为 ,根据点到直线的距离公式,即可求得a的值,代入求得y的值,即可求得P点坐标;(3)设点P(x1 , y1)(﹣2<x1<3),点M ,由点F、P、M三点共线,求得点M的坐标, . ,则 .由此可导出k1k2的取值范围.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】祖暅是南北朝时代的伟大科学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体:图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体;图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】山西某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(本科学历)的调查,其结果(人数分布)如表:
学历 | 35岁以下 | 3550岁 | 50岁以上 |
本科 | 80 | 30 | 20 |
研究生 | 20 |
(Ⅰ)用分层抽样的方法在岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本,将该样本看成一个总体,从中任取3人,求至少有1人的学历为研究生的概率;
(Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求、的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设直线l1 , l2分别是函数f(x)= 图象上点P1 , P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1 , l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
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