Question

已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：（n≥3，n∈N）；
（3）若，求证：（n≥3，n∈N）．

Answer 1

解：（1）∵，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，）．
∵及∴
（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，，
则-，
于是当n=3时，成立．
②假设在n=k（k≥3）时，（*）成立，即．
则当n=k+1时，=，
其中0＜
于是，
从而n=k+1时（*）式得证．
综合①②可知：n≥3，n∈{N}时．

（3）由变形为：，
而由（n≥3，n∈N）
可知：在n≥3上恒成立，
于是，
又∵，∴，
从而原不等式（n≥3，n∈N）得证．（14分）
分析：（1）由题设知，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，）．由此能求出a₃的取值范围；（2）用数学归纳法进行证明，证明过程中要注意合理地进行等价转化．
（3）由变形为：，由此入手能够得到证明．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，挖掘题设中的隐含条件，注意数学归纳法的解题过程．