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已知平面内一点P与两个定点F1(-
3
 , 0)
F2(
3
 , 0)
的距离的差的绝对值为2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C;
(Ⅱ)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)由双曲线的定义知该轨迹为双曲线,从而由所给条件可求得其标准方程;
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,与双曲线方程联立消掉y得关于x的一元二次方程,根据韦达定理可用k表示出x1+x2,x1x2,进而表示出y1y2,由OA⊥OB,可得
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,从而转化为关于k的方程,解出即可,注意检验所求k值是否符合题意要求;
解答:解:(Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点P的轨迹为双曲线,
其中a=1,c=
3
,则b=
c2-a2
=
2

所以动点P的轨迹方程C:x2-
y2
2
=1
.                    
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组
x2-
y2
2
=1 
y=kx-2 
得(2-k2)x2+4kx-6=0.      
因为直线l与曲线C交于A,B两点,
所以
2-k2≠0 
△=(4k)2-4×(2-k2)×(-6)>0 

-
6
<k<
6
k≠±
2
.   (*)
由根与系数关系得 x1+x2=
-4k
2-k2
x1x2=
-6
2-k2

因为y1=kx1-2,y2=kx2-2,
所以y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4.                   
因为OA⊥OB,所以
OA
OB
=0
,即x1x2+y1y2=0,
所以 (1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0,
所以(1+k2)•
-6
2-k2
-2k•
-4k
2-k2
+4=0

即k2=1,解得k=±1,由(*)式知k=±1符合题意.
所以直线l的方程是y=x-2或y=-x-2.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解,考查学生对问题的转化能力,考查学生利用知识分析问题解决问题的能力,属中档题.
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2
2

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OM
OA
+
OB
,求λ的值.

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