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9.已知函数f(x)=sin(x+$\frac{π}{6}$)+sin(x-$\frac{π}{6}$)+cosx-1.
(1)求使f(x)≥0成立的x的取值集合;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A为锐角,a=3$\sqrt{3}$,c=6,f(A)是函数f(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值,求△ABC的面积.

分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=$\sqrt{3}sinx+cosx-1=2sin(x+\frac{π}{6})-1$,由$sin(x+\frac{π}{6})≥\frac{1}{2}$,根据正弦函数的图象和性质即可解得满足条件的x的取值集合.
(2)由已知可求$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$,利用正弦函数的图象和性质可求A,利用余弦定理可求b,进而利用三角形面积公式即可计算得解.

解答 (本题满分为12分)
解:(1)$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx+cosx-1$,(2分)
=$\sqrt{3}sinx+cosx-1=2sin(x+\frac{π}{6})-1$,(4分)
由f (x)≥0得:$sin(x+\frac{π}{6})≥\frac{1}{2}$,
∴$2kπ+\frac{π}{6}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{5π}{6}(k∈Z)$,即$2kπ≤x≤2kπ+\frac{2π}{3}$,
故满足条件的x的取值集合是$\{x|2kπ≤x≤2kπ+\frac{2π}{3},k∈Z\}$.(6分)
(2)由x∈[0,$\frac{π}{2}$],得:$x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$
又∵A为锐角,∴当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$,即$A=\frac{π}{3}$时,函数f (x)取最大值,(8分)
由余弦定理得:$27={b^2}+36-12bcos\frac{π}{3}⇒{b^2}-6b+9=0$,
∴b=3,(10分)
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×3×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$.(12分)

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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