A. | 8 | B. | 12 | C. | 16 | D. | 20 |
分析 通过将点($\sqrt{3}$,$\frac{1}{2}$)代入椭圆方程,结合离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$计算可得椭圆方程,进而利用向量数量积运算的坐标表示,利用配方法求最值即得结论.
解答 解:依题意,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$,
∴椭圆T方程为:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,
则A(-2,0),F1(-$\sqrt{3}$,0),F2($\sqrt{3}$,0),
设P(x,y),记t=$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$,
则t=(-2-x,-y)•(-$\sqrt{3}$-x,-y)+(-2-x,-y)•($\sqrt{3}$-x,-y)
=(2+x)($\sqrt{3}$+x)+y2+(2+x)(x-$\sqrt{3}$)+y2
=2x(x+2)+2y2
=2x2+4x+2y2
=2x2+4x+2(1-$\frac{{x}^{2}}{4}$)
=$\frac{3}{2}$x2+4x+2
=$\frac{3}{2}$$(x+\frac{4}{3})^{2}$-$\frac{2}{3}$,
又∵-2≤x≤2,
∴当x=2时,t取最大值,且tmax=$\frac{3}{2}$•$(2+\frac{4}{3})^{2}$-$\frac{2}{3}$=16,
故选:C.
点评 本题考查椭圆的简单性质,涉及椭圆方程,向量数量积,配方法求最值问题,注意解题方法的积累,属于中档题.
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | -1 |
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