Question

已知关于x的不等式kx²-2x+6k＞0．
（1）若不等式的解集是{x|-3＜x＜-2}，求实数k的值．
（2）若不等式对一切x∈（0，3）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据一元二次方程与对应的不等式的关系，结合根与系数的关系，求出k的值；
（2）把不等式kx²-2x+6k＞0变形为k＞

2x

x2+6

，利用基本不等式求出x+

6

x

的最小值，从而求出k的取值范围．

解答： 解：（1）∵不等式kx²-2x+6k＞0的解集是{x|-3＜x＜-2}，
∴k＜0，且-3和-2是方程kx²-2x+6k=0的实数根，
由根与系数的关系，得；
（-3）+（-2）=

2

k

，
∴k=-

2

5

；（6分）
（2）根据题意kx²-2x+6k＞0，得：
k＞

2x

x2+6

在（0，3）上恒成立；
设y=

2x

x2+6

=

2

x+ 6 x

，x∈（0，3），
∵x+

6

x

≥2

6

，
即(x+

6

x

)min=2

6

，当且仅当x=

6

时取“=”；
∴(

2x

x2+6

)max=

2

2 6

=

6

6

，
∴k的取值范围为（

6

6

，+∞）．（12分）

点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了利用基本不等式求函数最值的问题，是综合性题目．