Question

对任意实数k满足直线y=kx+b与椭圆

x= 3 +2cosθ y=1+4sinθ

(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是

-1≤b≤3

．

Answer 1

分析：先把椭圆的参数方程化为普通方程，与直线方程联立得到关于x的一元二次方程，由题意可得△≥0，而此式对于任意实数k恒成立，必有△₁≤0，解得即可．

解答：解：由椭圆

x= 3 +2cosθ y=1+4sinθ

(0≤θ＜2π)消去参数θ可得：

(x- 3 )2

4

+

(y-1)2

16

=1，
把y=kx+b代入上式消去y可得：（4+k²）x²+[2k(b-1)-8

3

]x+b²-2b-3=0．
∵直线y=kx+b与椭圆恒有公共点，
∴△≥0，即[2k(b-1)-8

3

]2-4(4+k2)(b2-2b-3)≥0，
化为k2-2

3

k(b-1)-b2+2b+15≥0．
∵上式对任意实数k恒成立，∴△₁≤0，即12（b-1）²-4（-b²+2b+15）≤0，
化为b²-2b-3≤0，解得-1≤b≤3．
故答案为-1≤b≤3．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到x的一元二次方程的判别式△≥0、对于任意实数k一元二次不等式恒成立再转化为△≤0问题等基础知识与基本技能，属于难题．