Question

【题目】如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．

（1）求证：AN⊥DM；
（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；
（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，在菱形ABCD中，

∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC为等边三角形．

∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，

又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，

∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD

∴AN⊥平面ADEF，

∵DM平面ADEF，

∴AN⊥DM；

（2）解：由（1）知，NA⊥平面ADEF，

∴∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，

∵四边形ADEF为矩形，AD=2AF=2，M是EF的中点，

∴AF=FM=1，

∴△AMF为等腰直角三角形，

∴AM= ，

∵△ABC为边长为2的等边三角形且N是BC的中点，

∴AN= ，

在Rt△NAM中，tan∠NMA= =

（3）解：∵四边形ADEF为矩形，M是EF的中点，AB=2AF=2，

∴ME=DE=1，且DM=AM= ，

∴AD2=AM2+DM2，

∴∠AMD=90°，

∴S△AMD= =1．

由（1）NA⊥平面ADEF，

∴三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积= = ．

【解析】（1）连接AC，证明AN⊥AD，利用平面与平面垂直的性质证明AN⊥平面ADEF，即可证明AN⊥DM；（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）利用三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积，即可求三棱锥D﹣MAN的体积．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．