Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：?x∈D，?常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
（1）试判断函数f（x）=x³+

3

x

在[

1

2

，3]上是否是有界函数？
（2）若某质点的运动方程为S（t）=

1

t+1

+

1

2

a（t+1）²，要使对t∈[0，+∞）上的每一时刻的瞬时速度S′（t）是以M=1为上界的有界函数，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．
（2）由|S′（t）|≤1，可得-1≤

-1

(t+1)2

+a(t+1)≤1．分离参数可得

1

(t+1)3

-

1

t+1

≤a≤

1

(t+1)3

+

1

t+1

，再利用导数分别研究左右两边的函数即可得出．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x2-

3

x2

=

3(x+1)(x-1)(x2+1)

x2

=0，x∈[

1

2

，3]，解得x=1，
当x∈[

1

2

，1]时，f′（x）＜0；当x∈（1，3]时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[

1

2

，3]上的最小值为f（1）=4，
又f（

1

2

）=

49

8

，f（3）=28．
∴当x∈[

1

2

，3]时，f（1）≤f（x）≤f（3），即 4≤f（x）≤28．
∴存在常数M=28等使得?x∈[

1

2

，3]，都有|f（x）|＜0≤M成立．
故函数函数f（x）=x³+

3

x

在[

1

2

，3]上是有界函数．
（2）∵S′（t）=

-1

(t+1)2

+a(t+1)．
由|S′（t）|≤1，得|

-1

(t+1)2

+a(t+1)|≤1，
∴-1≤

-1

(t+1)2

+a(t+1)≤1．
∴

1

(t+1)3

-

1

t+1

≤a≤

1

(t+1)3

+

1

t+1

，
①令g（t）=

1

(t+1)3

+

1

t+1

，显然g（t）在[0，+∞）上单调递减，
且当t→+∞时，g（x）→0．
∴a≤0．
②令

1

t+1

=m∈（0，1]，h（m）=m³-m，h′（m）=3m²-1=0，解得m=

3

3

，
当m∈[

3

3

，1]时，函数h（m）单调递增，h（m）≤h（1）=0，
则当m=1即t=0时，h（m）_max=h（1）=0，
∴a≥0
综上可得a=0．

点评：本题考查了利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值、“有界函数”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．