Question

【题目】现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”
为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；
（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D（PO）≤1的点P所组成的集合，
点集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，
求集合Q={（x，y）|x=x1+x2 ， y=y1+y2 ， （x1 ， y1）∈A，（x2 ， y2）∈B}所表示的区域的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，﹣1）、（0，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣2，0）、（﹣1，1）；
（2）解：设定点坐标为（a，b），定值为r，

则“圆”的方程为|x﹣a|+|y﹣b|=r．

则 ．

“圆”的方程为|x﹣2|+|y﹣2|=2．

作其图象如下，

．

（3）解：B={（x，y）||x|+|y|≤1}，

∵ ，

∴ ，

∵（x2，y2）∈B，

∴|x2|+|y2|≤1，

即|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，

∵点集A表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部，

∴点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．

面积 ．

【解析】（1）由题意可得|x|+|y|=2，从而写出格点即可；（2）设定点坐标为（a，b），定值为r，从而可得“圆”的方程为|x﹣a|+|y﹣b|=r，从而解得“圆”的方程为|x﹣2|+|y﹣2|=2，作其图象即可；（3）由题意，B={（x，y）||x|+|y|≤1}，从而可得|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，从而可得点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部，从而求面积．