Question

已知tan2θ=-2

2

，2θ∈(

π

2

，π)，求

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：利用二倍角的正切函数公式化简tan2θ，代入已知的等式中得到关于tanθ的方程，求出方程的解得到tanθ的值，然后把所求的式子分子第一、三项利用二倍角的余弦函数公式化简，分母利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，分子分母同时除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanθ的值代入即可求出值．

解答：解：∵tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=-2

2

，
∴

2

tan²θ-tanθ-

2

=0，
解得：tanθ=

2

或tanθ=-

2

2

，
又2θ∈(

π

2

，π)，
∴θ∈（

π

4

，

π

2

），
∴tanθ=-

2

2

不合题意，舍去，
∴tanθ=

2

，
则

2cos2 θ 2 -sinθ-1

2 sin(θ+ π 4 )

=

cosθ-sinθ

sinθ+cosθ

=

1-tanθ

tanθ+1

=

1- 2

2 +1

=2

2

-3．

点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．