Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图和侧视图（尺寸如图所示）；
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证平面PBC⊥平面PABE；
（Ⅲ）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，利用棱锥的体积公式解答；
（Ⅱ）只要证明BC⊥平面PABE即可；
（Ⅲ）连BP，

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，利用角度之间的关系得到PB⊥AE，进一步得到AE⊥平面PBG，从而得证．

解答： 解：（I）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，…（2分）
且PA=4

2

，BE=2

2

，AB=AD=CD=CB=4，
∴VP-ABCD=

1

3

PA•S ABCD=

1

3

×4

2

×4×4=

64 2

3

  …（5分）
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PABE
∴平面ABCD⊥平面PABE…（7分）
又BC⊥AB
∴BC⊥平面PABE，
BC?平面PBC
∴平面 PBC⊥平面PABE     …（10分）
（Ⅲ）连BP，

EB

AB

=

BA

PA

=

1

2

，
∠EBA=∠BAP=90°，
∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°

∴PB⊥AE…（12分）
又BC⊥平面APEB，
∴BC⊥AE，
∴AE⊥平面PBG，
∴AE⊥PG…（14分）

点评：本题主要考查空间线线、线面、面面位置垂直关系转化，空间几何体的体积计算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．