Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;（a＞b＞0）$的右焦点为F（1，0），离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．

Answer 1

分析 （1）由交点坐标，离心率可求得a、c、b，即可写出椭圆方程；
（2）设出A，B，P，F的坐标，写出直线MN的方程，联立椭圆方程，消去x，得到含y的方程，运用韦达定理和斜率公式，化简整理，结合等差数列的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：a=2，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以 b²=3
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（4，n）
设直线MN的方程为：y=x-1…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$得：7x²-8x-8=0…（7分）
${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{8}{7}$…（8分）
${k_{PM}}+{k_{PN}}=\;\frac{{{y_1}-n}}{{{x_1}-4}}+\frac{{{y_2}-n}}{{{x_2}-4}}=\;\frac{{（{y_1}-n）（{x_2}-4）+（{y_2}-n）（{x_1}-4）}}{{（{x_1}-4）（{x_2}-4）}}$…（9分）
=$\frac{{8\;n-n（{x_1}+{x_2}）-4（{x_1}+{x_2}-2）+2{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）+16}}$
=$\frac{{8\;n-\frac{8}{7}n+\frac{24}{7}-\frac{16}{7}-\frac{8}{7}}}{{-\frac{8}{7}-\frac{32}{7}+16}}$=$\frac{2n}{3}$
因为${k_{PF}}=\frac{n}{3}$，所以2k_PF=k_PM+k_PN…（12分）
所以直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．…（13分）

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法、直线的方程和等差数列的性质及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．属于中档题．