Question

已知函数f(x)=x²-(a+2)x+alnx(a∈R)。
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若a=4,y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点,求m的取值范围。

Answer 1

（1）见解析；（2）(4ln2-8,-5).

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数图像的交点问题的综合问题。
解：（Ⅰ）函数f(x)=x²-(a+2)x+alnx的定义域为（0，+∞），
　　f＇(x)=2x-(a+2)+= = 
① 当a≤0时,f＇(x)≤0在(0,1]上恒成立,f＇(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，
∴a≤0时,f(x)的增区间为[1,+∞),f(x)的减区间为(0,1]。
② 当0<a<2时,f＇(x)≥0在(0, ]和[1,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在[ ,1]上恒成立.
∴0<a<2时，f(x)的增区间为(0, ]和[1,+∞),f(x)的减区间为[,1]．
③ a=2时,f＇(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴a=2时,f(x)的增区间为(0,+∞)．
④ a>2时,f＇(x)≥0在(0,1]和[,+∞)上恒成立,f＇(x)≤0在[1, ]上恒成立，
∴a>2时，f(x)的增区间为(0,1]和[,+∞),f(x)的减区间为[1, ]．
（Ⅱ）若a=4,由(Ⅰ)可得f(x)在(0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增.
f(x)_极小值=f(2)=4ln2-8,      f(x)_极大值=f(1)=-5,
∴y=f(x)的图像与直线y=m有三个交点时m的取值范围是(4ln2-8,-5)。