Question

12．对任意的x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，不等式sin²x+asinx+a+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≥-2．

Answer 1

分析 利用换元法令t=sinx，不等式可整理为t²+at+a+3≥0恒成立，得a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$，利用分离常数法求出右式的最大值即可．

解答 解：令t=sinx，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴t²+at+a+3≥0恒成立，
∴a≥$\frac{-{t}^{2}-3}{t+1}$=-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$+2，
令f（t）=-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$=-[（t+1）+$\frac{4}{t+1}$]，
∴f（t）≤-4，
∴-（t+1）-$\frac{4}{t+1}$+2≤-2，
∴a≥-2．
故答案为a≥-2．

点评 考查了换元法的应用和恒成立问题的转换．难点是利用分离常数法求最大值．