Question

10．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，且当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，则f（7.5）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，得到函数的周期为，利用函数的周期性进行转化求解即可．

解答 解：由f（x+1）=$\frac{1}{f（x）}$，得f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），即函数的周期是2的周期函数，
则f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=$\frac{1}{f（-0.5+1）}$=$\frac{1}{f（0.5）}$，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，
∴f（0.5）=2^0.5=${2}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$，
则f（7.5）=$\frac{1}{f（0.5）}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性是解决本题的关键．