Question

已知不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集，则a²+b²-2b的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集写出关于a，b的约束条件，再画出可行域，设z=a²+b²-2b，再利用z的几何意义求最值即可．

解答：解：不等式ax²+bx+a＜0（ab＞0）的解集是空集等价于：
b²-4a²≤0且a＞0，b＞0
得（b+2a）（b-2a）≤0，且a＞0，b＞0
即：b+2a与b-2a异号且a＞0，b＞0
不难画出点P（a，b）的可行域，
记A（0，1），|PA|²=a²+（b-1）²，a²+b²-2b=|PA|²-1，
|PA|的最小值即A点到直线b-2a=0的距离为

5

5

．
故：a²+b²-2b∈[-

4

5

，+∞）．
故答案为：[-

4

5

，+∞)．

点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．