Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，a₃=3，a₇=7，数列{b_n}的首项b₁=4，前n项和S_n满足对任意m，n∈N₊，S_mS_n=2S_m+n恒成立．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求{a_n}的通项公式；再由S₁S_n=2S_1+n，即2S_n=S_1+n，即有2S_n-1=S_n，相减再由等比数列的通项公式即可得到所求；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃=3，a₇=7，可得a₁+2d=3，a₁+6d=7，
解得a₁=d=1，
即有a_n=1+n-1=n；
令m=1，可得S₁S_n=2S_1+n，即2S_n=S_1+n，
即有2S_n-1=S_n，
两式相减可得2b_n=b_n+1，
即有b_n=b₂2^n-2，
由2b₁=2S₁=S₂=b₁+b₂，
解得b₂=4，则b_n=2ⁿ，n＞1．
则b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）c_n=a_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{n•{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
即有前n项和为T_n=4+2•4+3•8+4•16+…+n•2ⁿ，
2T_n=8+2•8+3•16+4•32+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-T_n=4+8+16+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=4+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．