Question

如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.

（1）求证：AC⊥平面SBD；

（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.

Answer 1

(1)证明：∵底面ABCD是菱形，O为中心,

∴AC⊥BD.

又SA=SC，

∴AC⊥SO.而SO∩BD=O，

∴AC⊥面SBD.

(2)解:取棱SC中点M，CD中点N，连结MN，

则动点P的轨迹即是线段MN.

证明：连结EM、EN，

∵E是BC中点，M是SC中点，

∴EM∥SB.同理,EN∥BD，∵AC⊥面SBD,∴AC⊥SB.

∴AC⊥EM.10分

同理,AC⊥EN，

又EM∩EN=E，

∴AC⊥面EMN.

因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥EP;

P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.