已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图7,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的最大值.
(1)椭圆的方程为.(2)以四边形的面积的最大值为。
【解析】
试题分析:(1)依题意,设椭圆的方程为.
构成等差数列,
, .
又,.
椭圆的方程为. 4分
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,得. 5分
由直线与椭圆仅有一个公共点知,,
化简得:. 7分
设,, 9分
(法一)当时,设直线的倾斜角为,
则,
,
, 11分
,当时,,,.
当时,四边形是矩形,. 13分
所以四边形面积的最大值为. 14分
(法二),
.
.
四边形的面积, 11分
. 13分
当且仅当时,,故.
所以四边形的面积的最大值为. 14分
考点:本题主要考查等差数列,椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,面积计算。
点评:中档题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。解题过程中,运用等差数列的基础知识求得了a,b,c的关系。
科目:高中数学 来源:2013-2014学年云南省部分名校高三12月联考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,
. 求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年云南省部分名校高三12月联考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年浙江省宁波市鄞州区高三5月适应性考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、 构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且,. 求四边形面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,
点是直线上的两点,且,.
求四边形面积的最大值.
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