Question

12．设函数f（x）=-x²-2x，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{4x}，x＞0}\\{x+1，x≤0}\end{array}\right.$，h（x）=g[f（x）]，求函数h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x），g（x）的解析式，结合h（x）=g[f（x）]先求出函数h（x）的解析式，进而根据复合函数单调性：“同增异减”的原则，得到答案．

解答 解：令-x²-2x=0得，x=0，或x=-2；
∴当x≤-2，或x≥0时，f（x）≤0，
当-2＜x＜0时，f（x）＞0；
∴$h（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x）+\frac{1}{4f（x）}，&-2＜x＜0\\-{x}^{2}-2x+1&，x≤-2，或x≥0\end{array}\right.$；
（1）当x≤-2时，函数h（x）为减函数；
（2）当-2＜x＜0时，令f（x）=t，0＜t＜1，
设y=h（x），则：$y=t+\frac{1}{4t}$，0＜t＜1，$y′=\frac{4{t}^{2}-1}{4{t}^{2}}$；
∴$t∈（0，\frac{1}{2}）$时，y′＜0，$y=t+\frac{1}{4t}$为减函数，t∈（$\frac{1}{2}，1$）时，y′＞0，$y=t+\frac{1}{4t}$为增函数；
令f（x）=-x²-2x=$\frac{1}{2}$，则x=-1±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵当-2＜x＜-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为增函数，g（x）为减函数，故h（x）为减函数；
当-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜-1时，f（x）为增函数，g（x）为增函数，故h（x）为增函数；
当-1＜x＜-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）为减函数，g（x）为增函数，故h（x）为减函数；
当-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x＜0时，f（x）为减函数，g（x）为减函数，故h（x）为增函数；
（3）当x≥0时，h（x）为增函数；
综上所述，函数h（x）的单调递增区间为[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1]，[-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，复合函数的单调性，难度中档．