Question

已知命题p：指数函数f（x）=（

3-a

2

）^x在R上单调递减，命题q：二次函数g（x）=x²-2ax+a+2在[0，2]有且只有一个零点；若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，判断当所给的两个命题为真命题时，相应的取值范围，然后，结合条件确定具体的范围即可．

解答： 解：由命题p：指数函数f（x）=（

3-a

2

）^x在R上单调递减，得
0＜

3-a

2

＜1，
∴1＜a＜3，
由命题q：二次函数g（x）=x²-2ax+a+2在[0，2]有且只有一个零点，得
g（x）=（x-a）²+a+2-a²，
当a＜0时，满足：

g(0)＜0 g(2)＞0

，解得

a+2＜0 4-4a+a+2＞0

，
∴

a＜-2 a＜2

，
∴a＜-2，
当0≤a≤1时，满足：△=4a²-4（a+2）=0解得a=-1或a=2（舍去），
当a＞2时，满足：

g(0)＞0 g(2)＜0

，解得

a+2＞0 -3a+6＜0

，
∴a＞2，
∴a＜-2或a＞2，
∵若p或q为真，p且q为假，
∴p，q必一真一假，得

1＜a＜3 -2≤a≤2

或

a≤1或a≥3 a＜-2或a＞2

．，
∴a∈（-∞，-2）∪（1，2]∪[3，+∞）．
综上，得到a的取值范围为：（-∞，-2）∪（1，2]∪[3，+∞）．

点评：本题重点考查了不等式的解法、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．