Question

已知集合P是满足下述性质的函数f（x）的全体：存在非零常数M，对于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）设函数g（x）=sinπx，试证明：g（x）∈P；（2）当M=1时，试说明函数f（x）的一个性质，并加以证明；
（3）若函数h（x）=sinωx∈P，求实数ω的取值范围．

Answer 1

（1）取 M=1  对于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1时，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一个周期函数，周期为2；
（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常数M，对于对于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．  既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，则 sin（ωx+ωM）=-M对x∈R恒成立时不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，则  sinωx=-

1

M

对x∈R也不成立．∴M=±1
当 M=1时   sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，2sin(ωx+

ω

2

)•cos

ω

2

=0（x∈R），cos

ω

2

=0解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
当M=-1时  sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，2cos(ωx-

ω

2

)•sin(-

ω

2

)=0（x∈R），sin

ω

2

=0解得：ω=2kπk∈Z
综上可得ω=kπ（k∈Z）