Question

设△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，平面向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（c，a），

p

=（2b，0），且

m

•（

n

-

p

）=o．
（1）求角A的大小；
（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x的值域．

Answer 1

分析：（1）由

m

•（

n

-

p

）=o，结合平面向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（c，a），

p

=（2b，0），我们易求出A角的一个三角函数值，结合A是三角形的内角，我们易得到A的大小．
（2）根据三角函数的降次公式，我们易将函数f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x的解析式进行化简，然后根据|x|≤A，及正弦函数的性质，得到函数的值域．

解答：解：（I）∵

m

•（

n

-

p

）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0
∴（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0
∴-2sinBcosA+sinB=0
∵sinB≠0
∴cosA=

1

2

又由A是三角形的内角，
∴A=

π

3

（II）f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x=

1

4

sin2x+

3

2

•

1-cos2x

2

=

3

4

+

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

3

4

+

1

2

sin（2x-

π

3

）
∵|x|≤A，A=

π

3

∴-

π

3

≤x≤

π

3

∴-π≤2x-

π

3

≤

π

3

∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

∴

3 -2

4

≤

3

4

+

1

2

sin（2x-

π

3

）≤

3

2

∴函数f（x）的值域为[

3 -2

4

，

3

2

]

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，三角函数给值求角，及正弦函数的定义域和值域，其中根据平面向量数量积的运算，根据

m

•（

n

-

p

）=o，得到A的三角函数值是解答本题的关键．