考点:数学归纳法
专题:导数的概念及应用,点列、递归数列与数学归纳法
分析:构造函数g
n(x)=e
x-1-
,当n=1时,只需证明g
1(x)=e
x-1-x>0(利用导数法易证);当x∈(1,+∞)时,假设n=k时不等式成立,即g
k(x)=e
x-1-
>0,去证明
当n=k+1时,不等式也成立,从而证得结论成立即可.
解答:
证明:设g
n(x)=e
x-1-
,
当n=1时,只需证明g
1(x)=e
x-1-x>0,当x∈(1,+∞)时,g
1′(x)=e
x-1-1>0,
所以g
1(x)=e
x-1-x在(1,+∞)上是增函数,∴g
1(x)>g
1(1)=e
0-1=0,即e
x-1>x;
当x∈(1,+∞)时,
假设n=k时不等式成立,即g
k(x)=e
x-1-
>0,
当n=k+1时,
因为g
k+1′(x)=e
x-1-
=e
x-1-
>0,
所以g
k+1(x)在(1,+∞)上也是增函数.
所以g(x)>g
k+1(1)=e
0-
=1-
>0,
即当n=k+1时,不等式成立.
由归纳原理,知当x∈(1,+∞)时,?n∈N
*,e
x-1-
.
点评:本题考查数学归纳法的应用,考查构造函数思想与导数法判断函数的单调性质的综合应用,考察推理证明能力,属于难题.